Задание EGEINF4DAF23: Черепаха, Чертёжник и Робот

Решение.
Обозначим число повторений через n, а неизвестное смещение через (u; v). По условию n — натуральное число, u и v — целые. Команды смещения складываются покоординатно.
Начальное смещение: (−6; −3), известное смещение внутри цикла: (3; −5), последнее: (−30; −24).
Один проход цикла даёт смещение (u + (3); v + (−5)). После n проходов обе координаты этого смещения умножаются на n.
Чтобы вернуться в исходную точку, суммарное смещение по каждой оси должно равняться нулю.
−6 + n · (u + (3)) + (−30) = 0.
−3 + n · (v + (−5)) + (−24) = 0.
Отсюда n · (u + (3)) = 36, n · (v + (−5)) = 27.
Выражения в скобках целые. Следовательно, n должно делить одновременно 36 и 27. Наибольшее возможное n равно их НОД: НОД(36; 27) = 9.
Проверим достижимость: при n = 9 выбираем u = 1, v = 8. Оба значения целые, а один проход даёт смещение (4; 3).
Проверка по x: −6 + 9 · 4 + (−30) = 0.
Проверка по y: −3 + 9 · 3 + (−24) = 0.
Таким образом, указанное число повторений возможно. Большее число не может делить обе необходимые координаты смещения, поэтому максимум доказан.
Ответ: 9.