Задание EGEINF4BEDA8: Графы, таблицы и маршруты

Решение.
Рисунок и таблица описывают одни и те же дороги. Буквенные обозначения нельзя сопоставлять номерам по положению на рисунке: нужно сохранить связи между пунктами. Пустая клетка означает отсутствие прямой дороги.
Степень вершины — число выходящих из неё дорог. На рисунке: A — 3, B — 3, C — 3, D — 3, E — 3, F — 2, G — 3.
В таблице степени равны: 1 — 3, 2 — 3, 3 — 2, 4 — 3, 5 — 3, 6 — 3, 7 — 3.
Сопоставлять можно только вершины одинаковой степени. Затем сравниваем, с какими группами вершин связаны их соседи; если наборы различаются, соответствие исключаем. Повторяем уточнение, пока группы перестанут делиться.
Уточнение 1: A ∈ {1, 7}; B ∈ {1, 7}; C ∈ {2, 4, 5, 6}; D ∈ {2, 4, 5, 6}; E ∈ {2, 4, 5, 6}; F ∈ {3}; G ∈ {2, 4, 5, 6}.
Уточнение 2: A ∈ {1, 7}; B ∈ {1, 7}; C ∈ {2, 6}; D ∈ {5}; E ∈ {4}; F ∈ {3}; G ∈ {2, 6}.
Уточнение 3: A ∈ {1, 7}; B ∈ {1, 7}; C ∈ {2, 6}; D ∈ {5}; E ∈ {4}; F ∈ {3}; G ∈ {2, 6}.
Внутри оставшихся групп перебираем взаимно однозначные соответствия. Всего вариантов: 4. Для каждого проверяем все пары пунктов: и наличие дороги, и её отсутствие должны совпадать.
A=1, B=7, C=2, D=5, E=4, F=3, G=6: исключаем — на рисунке есть дорога A–C, а в клетке 1–2 пусто.
Подходит: A=1, B=7, C=6, D=5, E=4, F=3, G=2.
Подходит: A=7, B=1, C=2, D=5, E=4, F=3, G=6.
A=7, B=1, C=6, D=5, E=4, F=3, G=2: исключаем — на рисунке есть дорога A–C, а в клетке 7–6 пусто.
Для соответствия 1: G–B соответствует 2–7, длина 2; C–A соответствует 6–1, длина 21.
Сумма длин: 2 + 21 = 23.
Для соответствия 2: G–B соответствует 6–1, длина 21; C–A соответствует 2–7, длина 2.
Сумма длин: 21 + 2 = 23.
Во всех допустимых соответствиях искомая величина одинакова и равна 23. Наличие нескольких соответствий, если они есть, поэтому не создаёт неоднозначности ответа.
Проверка первого допустимого соответствия по всем дорогам рисунка: CG → 6–2; GB → 2–7; BF → 7–3; FA → 3–1; AC → 1–6; CD → 6–5; DG → 5–2; DE → 5–4; EB → 4–7; EA → 4–1.
Все перечисленные клетки непусты, а число дорог в таблице равно числу рёбер рисунка. Значит, лишних связей не появилось. Остальные варианты либо прошли ту же проверку, либо исключены указанным противоречием.
Ответ: 23.