ФИПИ · ЕГЭ · все форматы ответа · 2475 заданий
Тип задачи: Оптимальный маршрут по клетчатому полю.
Учебные темы: Двумерные массивы (матрицы). Алгоритмы обработки двумерных массивов: заполнение двумерного числового массива по заданным правилам, поиск элемента в двумерном массиве, вычисление максимума (минимума) и суммы элементов двумерного массива, перестановка строк и столбцов двумерного массива; Динамическое программирование как метод решения задач с сохранением промежуточных результатов. Задачи, решаемые с помощью динамического программирования: вычисление рекурсивных функций, подсчёт количества вариантов, задачи оптимизации; Анализ данных с помощью электронных таблиц. Вычисление суммы, среднего арифметического, наибольшего (наименьшего) значения диапазона. Вычисление коэффициента корреляции двух рядов данных. Построение столбчатых, линейчатых и круговых диаграмм. Построение графиков функций. Подбор линии тренда, решение задач прогнозирования. Решение задач оптимизации с помощью электронных таблиц.
Ответ: 1927 675
Решение.
Откроем приложенную электронную таблицу. Исходные числа занимают диапазон A1:T20: поле имеет размер 20 × 20. Начинаем в A1 и движемся только вправо или вниз. Число в каждой посещённой клетке, включая начало и финиш, прибавляется к сумме.
Финиш разрешён в любой угловой клетке в смысле условия: из неё нельзя сделать ни шаг вправо, ни шаг вниз. Учитываем внутренние стены и внешнюю границу поля. Останавливаться в произвольной промежуточной клетке нельзя.
В исходном поле найдено 48 внутренних границ между соседними клетками, через которые проход запрещён.
Будем хранить для каждой достижимой клетки две величины: L — наименьшую сумму от A1 до неё, H — наибольшую. Для A1 обе величины равны числу в самой A1: 20.
В любую другую клетку можно прийти только из соседней слева или сверху. Переход слева разрешён, если нет стены между этими клетками; переход сверху — если нет стены над текущей клеткой. Недостижимого соседа не используем.
Если оба входа разрешены, прибавим число текущей клетки к меньшей из двух величин L и к большей из двух величин H. Если допустимый вход один, берём только его. Если нет ни одного, помечаем клетку «нет пути», а не нулём.
Это динамическое программирование: любой путь в текущую клетку заканчивается одним из допустимых входов. Поэтому выбор лучшего пути до предшественника перебирает все возможности последнего шага. Обрабатывая строки сверху вниз, а клетки в строке слева направо, получаем точные минимум и максимум для всего поля.
Для расчёта в редакторе таблиц создадим под исходными числами блок максимумов с началом в A22. В A22 введём =A1. Например, значение для B2 окажется в B23: при двух допустимых входах формула имеет вид =B2+МАКС(A23;B22). Если вход перекрыт стеной или ведёт из недостижимой клетки, соответствующую ссылку исключаем. Начальную клетку общей формулой не заменяем.
Первую строку заполняем только по входу слева, первый столбец — только по входу сверху. После каждой стены отдельно проверяем достижимость. Для минимумов создадим такой же блок, заменив МАКС на МИН и сохранив все ограничения переходов. Нельзя протянуть общую формулу через стены без исправления ссылок.
Контрольные значения начала таблицы:
| Клетка | Число | L | H |
|---|---|---|---|
| A1 | 20 | 20 | 20 |
| B1 | 50 | 70 | 70 |
| A2 | 68 | 88 | 88 |
| B2 | 36 | 106 | 124 |
Значения в разрешённых конечных клетках:
| Финиш | Минимум | Максимум |
|---|---|---|
| R15 | 675 | 1809 |
| L20 | 826 | 1927 |
| T20 | 839 | 1895 |
Среди достижимых конечных клеток наименьшее значение L равно 675, наибольшее значение H равно 1927. Они могут достигаться в разных тупиках.
Проверка. Восстановим оба оптимальных маршрута, каждый раз выбирая предшественника, давшего записанную сумму. Ниже указаны посещённые столбцы по строкам; диапазон включает оба края. Между строками спускаемся в том столбце, в котором закончился предыдущий отрезок. Знак «—» означает, что маршрут завершился раньше.
| Строка | Минимальный: столбцы | Сумма | Максимальный: столбцы | Сумма |
|---|---|---|---|---|
| 1 | A–D | 125 | A | 20 |
| 2 | D–E | 83 | A | 68 |
| 3 | E–H | 55 | A | 64 |
| 4 | H | 34 | A | 75 |
| 5 | H | 23 | A | 21 |
| 6 | H | 14 | A | 50 |
| 7 | H | 8 | A | 75 |
| 8 | H–I | 35 | A | 80 |
| 9 | I | 9 | A | 9 |
| 10 | I | 18 | A | 76 |
| 11 | I–J | 14 | A | 56 |
| 12 | J | 7 | A | 39 |
| 13 | J–M | 37 | A | 85 |
| 14 | M–R | 160 | A | 84 |
| 15 | R | 53 | A | 100 |
| 16 | — | 0 | A–C | 237 |
| 17 | — | 0 | C | 72 |
| 18 | — | 0 | C–D | 161 |
| 19 | — | 0 | D–I | 384 |
| 20 | — | 0 | I–L | 171 |
| Итого | 675 | 1927 |
Все переходы этих маршрутов разрешены. Суммы чисел исходного файла дают 675 и 1927; начальная и конечная клетки учтены ровно один раз. Таблица динамического программирования доказывает, что меньшая и большая суммы невозможны.
По условию сначала записываем максимум, затем минимум.
Ответ: 1927 675.
Напишите пожелание к сайту или решению либо сообщите о найденной неточности в задании EGEINF4392F7.
Сообщение увидит только команда сайта: на странице оно не публикуется.
Комментарии к решению
Комментарии видны всем посетителям сайта.
Комментариев пока нет. Будьте первым.
Чтобы оставить комментарий, войдите или зарегистрируйтесь.