Задание EGEINF316E31: Подсчёт слов и последовательностей

Длина слова n = 6. Алфавит в порядке возрастания: Е, И, О, Р, Т, Я. Всего букв b = 6; повторения букв разрешены.

Сопоставим буквам цифры от 0 до b − 1: Е → 0, И → 1, О → 2, Р → 3, Т → 4, Я → 5. Алфавитное сравнение слов одинаковой длины совпадает со сравнением позиционных записей: решает первая различающаяся буква слева. Начальные нули сохраняем, поскольку длина слова фиксирована.

Номер в списке на единицу больше значения записи. Для цифр d₁, …, dₙ формула имеет вид N = 1 + d₁ · bⁿ⁻¹ + d₂ · bⁿ⁻² + … + dₙ. Единица нужна потому, что первое слово состоит из минимальных букв, его код равен нулю, а номер равен 1.

Условия отбора: первая буква не входит в Е, И; число букв Р от 2 до 6 включительно; номер чётный.

Основание b чётное: все позиционные слагаемые, кроме последнего, чётные. Поэтому чётность N определяется числом 1 + dₙ.

Докажем выбор слова последовательно слева направо. D(q) — число допустимых полных слов с началом q. Для полного слова D равно 1, если выполнены все ограничения, иначе 0. Для более короткого начала D(q) = сумма D(qc) по всем буквам c. Так перебираются все продолжения без пропусков и повторов; запрещённая буква, лишнее вхождение или запрещённая соседняя пара сразу дают ноль.

На каждом шаге выбираем наименьшую букву с положительным числом продолжений. Ниже числа D(qc) перечислены в порядке алфавита ЕИОРТЯ. Нули у всех более подходящих букв доказывают невозможность улучшить выбор.

Начало «пусто»: Е: 0, И: 0, О: 1013, Р: 2638, Т: 1013, Я: 1013; выбираем О.
Начало «О»: Е: 123, И: 123, О: 123, Р: 398, Т: 123, Я: 123; выбираем Е.
Начало «ОЕ»: Е: 13, И: 13, О: 13, Р: 58, Т: 13, Я: 13; выбираем Е.
Начало «ОЕЕ»: Е: 1, И: 1, О: 1, Р: 8, Т: 1, Я: 1; выбираем Е.
Начало «ОЕЕЕ»: Е: 0, И: 0, О: 0, Р: 1, Т: 0, Я: 0; выбираем Р.
Начало «ОЕЕЕР»: Е: 0, И: 0, О: 0, Р: 1, Т: 0, Я: 0; выбираем Р.

Полученное слово: ОЕЕЕРР.

Код слова: 200033.
Место 1: О → 2; вклад = 2 · 6⁵ = 15552.
Место 2: Е → 0; вклад = 0 · 6⁴ = 0.
Место 3: Е → 0; вклад = 0 · 6³ = 0.
Место 4: Е → 0; вклад = 0 · 6² = 0.
Место 5: Р → 3; вклад = 3 · 6¹ = 18.
Место 6: Р → 3; вклад = 3 · 6⁰ = 3.

N = 1 + 15552 + 0 + 0 + 0 + 18 + 3 = 15574.

Проверка: из N − 1 = 15573 последовательным делением с остатком на 6 восстанавливается код 200033 длины 6, то есть слово ОЕЕЕРР. Оно удовлетворяет всем ограничениям. Таблица продолжений исключила все слова, которые могли бы дать лучший номер.

Ответ: 15574.