ФИПИ · ЕГЭ · все форматы ответа · 2475 заданий
Тип задачи: Преобразование записи числа.
| КЭС: | 3.2 Оценка сложности вычислений. Время работы и объём используемой памяти, их зависимость от размера исходных данных. Оценка асимптотической сложности алгоритмов. Алгоритмы полиномиальной сложности. Переборные алгоритмы. Примеры различных алгоритмов решения одной задачи, которые имеют различную сложность 3.3 Определение возможных результатов работы простейших алгоритмов управления исполнителями и вычислительных алгоритмов. Определение исходных данных, при которых алгоритм может дать требуемый результат 3.4 Алгоритмы обработки натуральных чисел, записанных в позиционных системах счисления: разбиение записи числа на отдельные цифры, нахождение суммы и произведения цифр, нахождение максимальной (минимальной) цифры. Представление числа в виде набора простых сомножителей. Алгоритм быстрого возведения в степень. Поиск простых чисел в заданном диапазоне с помощью алгоритма «решето Эратосфена» 3.5 Многоразрядные целые числа, задачи длинной арифметики |
| Тип ответа: | Краткий ответ |
Ответ: 27
Дано: N — натуральное число. Укажите максимальное число N, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число R, меньшее 40. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.
Пусть k — длина исходной двоичной записи, s — количество единиц, p — остаток s при делении на 2. Сначала дописываем p справа, и только затем заменяем два левых разряда на 10 при p = 0 или на 11 при p = 1.
При k ≥ 2 обозначим через t значение исходной записи без двух первых цифр: t = N mod 2ᵏ⁻². Тогда общая формула R = (2 + p) · 2ᵏ⁻¹ + 2t + p. Здесь mod означает остаток от деления. Для N = 1 отдельно получаем 1 → 11 → 11, то есть R = 3.
Новая запись имеет k + 1 разрядов и начинается с единицы, поэтому R ≥ 2ᵏ, а N меньше 2ᵏ. Следовательно, R ≥ N. Чётность N здесь не заменяет чётность количества единиц.
Обоснование конечного перебора.
Достаточно проверить 1 ≤ N ≤ 40. При N ≥ 41 нижняя оценка даёт R ≥ 1 · 41 = 41, что больше 40.
Такие N нарушают верхнюю границу из условия.
Полный расчёт на выбранном отрезке по приведённым формулам. В каждой паре сначала указан вход N, затем результат R:
N = 1, R = 3; N = 2, R = 7; N = 3, R = 4; N = 4, R = 13.
N = 5, R = 10; N = 6, R = 8; N = 7, R = 15; N = 8, R = 25.
N = 9, R = 18; N = 10, R = 20; N = 11, R = 31; N = 12, R = 16.
N = 13, R = 27; N = 14, R = 29; N = 15, R = 22; N = 16, R = 49.
N = 17, R = 34; N = 18, R = 36; N = 19, R = 55; N = 20, R = 40.
N = 21, R = 59; N = 22, R = 61; N = 23, R = 46; N = 24, R = 32.
N = 25, R = 51; N = 26, R = 53; N = 27, R = 38; N = 28, R = 57.
N = 29, R = 42; N = 30, R = 44; N = 31, R = 63; N = 32, R = 97.
N = 33, R = 66; N = 34, R = 68; N = 35, R = 103; N = 36, R = 72.
N = 37, R = 107; N = 38, R = 109; N = 39, R = 78; N = 40, R = 80.
Наибольший допустимый вход: N = 27, R = 38. Его результат меньше 40; все большие входы в таблице нарушают условие, а входы за таблицей исключены оценкой.
Проверка выбранного входа: N = 27 = 11011₂.
Количество единиц равно 4; после добавления бита получаем 110110, после замены первых двух цифр — 100110.
Преобразованная запись: 100110₂.
R = 32 + 4 + 2 = 38.
Полученное значение удовлетворяет условию. Полный перебор с доказанной границей подтверждает требуемый экстремум. В ответ записываем N.
Ответ: 27.
Напишите пожелание к сайту или решению либо сообщите о найденной неточности в задании EGEINF2A4EB2.
Сообщение увидит только команда сайта: на странице оно не публикуется.
Комментарии к решению
Комментарии видны всем посетителям сайта.
Комментариев пока нет. Будьте первым.
Чтобы оставить комментарий, войдите или зарегистрируйтесь.