Задание EGEINF20495F: Графы, таблицы и маршруты

Решение.
Рисунок и таблица описывают одни и те же дороги. Буквенные обозначения нельзя сопоставлять номерам по положению на рисунке: нужно сохранить связи между пунктами. Пустая клетка означает отсутствие прямой дороги.
Степень вершины — число выходящих из неё дорог. На рисунке: A — 3, B — 2, C — 3, D — 3, E — 2, F — 3, G — 2.
В таблице степени равны: 1 — 3, 2 — 3, 3 — 2, 4 — 3, 5 — 3, 6 — 2, 7 — 2.
Сопоставлять можно только вершины одинаковой степени. Затем сравниваем, с какими группами вершин связаны их соседи; если наборы различаются, соответствие исключаем. Повторяем уточнение, пока группы перестанут делиться.
Уточнение 1: A ∈ {4, 5}; B ∈ {3, 6, 7}; C ∈ {1, 2}; D ∈ {1, 2}; E ∈ {3, 6, 7}; F ∈ {4, 5}; G ∈ {3, 6, 7}.
Уточнение 2: A ∈ {4, 5}; B ∈ {6, 7}; C ∈ {1, 2}; D ∈ {1, 2}; E ∈ {6, 7}; F ∈ {4, 5}; G ∈ {3}.
Уточнение 3: A ∈ {4, 5}; B ∈ {6, 7}; C ∈ {1, 2}; D ∈ {1, 2}; E ∈ {6, 7}; F ∈ {4, 5}; G ∈ {3}.
Внутри оставшихся групп перебираем взаимно однозначные соответствия. Всего вариантов: 8. Для каждого проверяем все пары пунктов: и наличие дороги, и её отсутствие должны совпадать.
A=4, B=6, C=1, D=2, E=7, F=5, G=3: исключаем — на рисунке есть дорога A–B, а в клетке 4–6 пусто.
Подходит: A=5, B=6, C=1, D=2, E=7, F=4, G=3.
A=4, B=6, C=2, D=1, E=7, F=5, G=3: исключаем — на рисунке есть дорога A–B, а в клетке 4–6 пусто.
A=5, B=6, C=2, D=1, E=7, F=4, G=3: исключаем — на рисунке есть дорога A–C, а в клетке 5–2 пусто.
A=4, B=7, C=1, D=2, E=6, F=5, G=3: исключаем — на рисунке есть дорога A–C, а в клетке 4–1 пусто.
A=5, B=7, C=1, D=2, E=6, F=4, G=3: исключаем — на рисунке есть дорога A–B, а в клетке 5–7 пусто.
Подходит: A=4, B=7, C=2, D=1, E=6, F=5, G=3.
A=5, B=7, C=2, D=1, E=6, F=4, G=3: исключаем — на рисунке есть дорога A–B, а в клетке 5–7 пусто.
Для соответствия 1: A — номер 5, F — номер 4.
Для соответствия 2: A — номер 4, F — номер 5.
По условию номера записываем в порядке возрастания, независимо от порядка букв. После упорядочения в каждом допустимом случае получается 45.
Проверка первого допустимого соответствия по всем дорогам рисунка: AB → 5–6; BC → 6–1; CG → 1–3; GD → 3–2; DE → 2–7; EF → 7–4; FA → 4–5; AC → 5–1; FD → 4–2.
Все перечисленные клетки непусты, а число дорог в таблице равно числу рёбер рисунка. Значит, лишних связей не появилось. Остальные варианты либо прошли ту же проверку, либо исключены указанным противоречием.
Ответ: 45.