ФИПИ · ЕГЭ · все форматы ответа · 2475 заданий
Тип задачи: Игры и выигрышные стратегии.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
– добавить в одну из куч (по своему выбору) 3 камня;
– увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 3 раза.
Например, пусть в одной куче 20 камней, а в другой 30 камней; такую позицию в игре обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (23, 30), (20, 33), (60, 30), (20, 90).
Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 176. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 176 камней
или больше. В начальный момент в первой куче было 14 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 161.
| КЭС: | 2.15 Дискретные игры двух игроков с полной информацией. Построение дерева перебора вариантов, описание стратегии игры в табличной форме. Выигрышные и проигрышные позиции. Выигрышные стратегии |
| Тип ответа: | Краткий ответ |
Ответ: 42 43
Решение.
Начальная позиция — (14; S), где 1 ≤ S ≤ 161. За ход меняется одна выбранная куча: к ней добавляют 3 камня или увеличивают её в 3 раза. Игра заканчивается, как только сумма двух куч достигает 176 или превышает это число. Петя ходит первым.
Из позиции (a; b) разрешены четыре перехода: (a + 3; b), (a; b + 3), (3a; b), (a; 3b). Порядок куч сохраняем во всех таблицах.
Рассматриваем позицию с точки зрения игрока, которому сейчас ходить. Введём четыре класса позиций. W₁ — можно закончить игру следующим ходом. L₁ — любой разрешённый ход передаёт сопернику позицию W₁, поэтому соперник гарантированно выигрывает своим первым ходом.
Для (a; b) условие W₁ проверяется по получающимся суммам: a + b + 3, 3a + b, a + 3b. Два хода добавления дают одинаковую сумму. Достаточно, чтобы хотя бы одна из этих сумм была не меньше 176.
W₂ — выиграть за один ход нельзя, но есть ход в L₁. После такого хода соперник вынужден передать позицию W₁, и игрок завершает игру своим вторым ходом. Проверка здесь состоит из существования одного подходящего собственного хода и проверки всех ответов противника.
L₂ — позиция не относится к L₁, а каждый разрешённый ход ведёт в W₁ или W₂. Тогда соперник гарантирует победу своим первым либо вторым ходом. Исключение L₁ необходимо: по условию задачи 21 победа первым ходом не должна гарантироваться. Терминальную позицию не относим ни к одному из этих четырёх классов: игра в ней уже закончилась.
Нужные начальные значения S — это позиции W₂. Проверяем допустимые S в порядке возрастания и выбираем первые два подходящих значения.
Результат последовательной проверки всех начальных S от 1 до 161 включительно. Для каждого перехода применяем правила выше; для двух куч проверяем и позиции с изменившейся первой кучей.
| Класс начальной позиции | Значения S |
|---|---|
| W₁ | 54–161 |
| L₁ | 53 |
| W₂ | 42–44, 50, 52 |
| L₂ | 49, 51 |
| Не входит в эти четыре класса | 1–41, 45–48 |
Покажем гарантированную стратегию для найденных значений. Каждая строка таблицы — возможное развитие игры; на ходе противника перечислены все допустимые ответы, на ходе победителя выбран один обеспечивающий победу ход. Знак «—» означает, что игра уже закончилась.
При S = 42:
| Начало | Петя, ход 1 | Ваня, ход 1 | Петя, ход 2 |
|---|---|---|---|
| (14; 42) | (42; 42) | (45; 42) | (135; 42) |
| (14; 42) | (42; 42) | (126; 42) | (378; 42) |
| (14; 42) | (42; 42) | (42; 45) | (42; 135) |
| (14; 42) | (42; 42) | (42; 126) | (126; 126) |
Первым ходом Петя может получить (17; 42), (42; 42), (14; 45), (14; 126). Ни одна из этих позиций не завершает игру. Показанный в таблице первый ход оставляет сопернику позицию L₁, а затем при каждом ответе соперника Петя достигает порога своим вторым ходом.
При S = 43:
| Начало | Петя, ход 1 | Ваня, ход 1 | Петя, ход 2 |
|---|---|---|---|
| (14; 43) | (42; 43) | (45; 43) | (135; 43) |
| (14; 43) | (42; 43) | (126; 43) | (378; 43) |
| (14; 43) | (42; 43) | (42; 46) | (42; 138) |
| (14; 43) | (42; 43) | (42; 129) | (126; 129) |
Первым ходом Петя может получить (17; 43), (42; 43), (14; 46), (14; 129). Ни одна из этих позиций не завершает игру. Показанный в таблице первый ход оставляет сопернику позицию L₁, а затем при каждом ответе соперника Петя достигает порога своим вторым ходом.
Проверка: все переходы в таблицах разрешены условием, игра нигде не продолжается после достижения порога, а каждая конечная позиция получена ходом нужного игрока. Независимый перебор дерева игры до второго хода каждого игрока подтвердил те же классы для всех проверенных S и все ветви приведённых стратегий.
Следовательно, два наименьших подходящих значения — 42 и 43.
Ответ: 42 43.
Напишите пожелание к сайту или решению либо сообщите о найденной неточности в задании EGEINF1D271B.
Сообщение увидит только команда сайта: на странице оно не публикуется.
Комментарии к решению
Комментарии видны всем посетителям сайта.
Комментариев пока нет. Будьте первым.
Чтобы оставить комментарий, войдите или зарегистрируйтесь.