155886 — Преобразование записи числа: ответ и решение

Впишите правильный ответ.

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа N.

2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:

а) если число N чётное, то к этой записи справа и слева дописываются по две единицы;

б) если число N нечётное, то в конец двоичной записи (справа) дописываются два нуля, а в начало (слева) дописывается единица.

Полученная таким образом запись (в ней на три или четыре разряда больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R.

3. Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.

Например, для исходного числа 13₁₀ = 1101₂ результатом является число 1110100₂ = 116₁₀, а для исходного числа 6₁₀ = 110₂ это число 1111011₂ = 123₁₀.

Укажите наименьшее число R, превышающее 95, которое может быть результатом работы данного алгоритма.
В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

СВОЙСТВА ЗАДАНИЯ

КЭС:

3.2 Оценка сложности вычислений. Время работы и объём используемой памяти, их зависимость от размера исходных данных. Оценка асимптотической сложности алгоритмов. Алгоритмы полиномиальной сложности. Переборные алгоритмы. Примеры различных алгоритмов решения одной задачи, которые имеют различную сложность

3.3 Определение возможных результатов работы простейших алгоритмов управления исполнителями и вычислительных алгоритмов. Определение исходных данных, при которых алгоритм может дать требуемый результат

3.4 Алгоритмы обработки натуральных чисел, записанных в позиционных системах счисления: разбиение записи числа на отдельные цифры, нахождение суммы и произведения цифр, нахождение максимальной (минимальной) цифры. Представление числа в виде набора простых сомножителей. Алгоритм быстрого возведения в степень. Поиск простых чисел в заданном диапазоне с помощью алгоритма «решето Эратосфена»

3.5 Многоразрядные целые числа, задачи длинной арифметики

Тип ответа:

Краткий ответ

Номер: 155886

Статус задания: НЕ РЕШЕНО Ответить

Решение задания EGEINF155886

Ответ: 100

Дано: N — натуральное число. Укажите наименьшее число R, превышающее 95, которое может быть результатом работы данного алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

Пусть k — длина двоичной записи N; тогда 2ᵏ больше N. Дописывание двух разрядов справа умножает число на 4; префикс 11 слева даёт добавку 3 · 2ᵏ⁺², префикс 1 — добавку 2ᵏ⁺².
Общие формулы: R = 3 · 2ᵏ⁺² + 4N + 3 при чётном N; R = 2ᵏ⁺² + 4N при нечётном N.
В первой ветви R больше 16N, во второй — больше 8N. Поэтому для обеих ветвей верна оценка R ≥ 8N.

Обоснование конечного перебора.
Достаточно проверить 1 ≤ N ≤ 14. При N ≥ 15 нижняя оценка даёт R ≥ 8 · 15 = 120, что больше 100.
В таблице уже есть допустимый результат R = 100; все пропущенные большие N дают ещё больший R и улучшить минимум не могут.

Полный расчёт на выбранном отрезке по приведённым формулам. В каждой паре сначала указан вход N, затем результат R:
N = 1, R = 12; N = 2, R = 59; N = 3, R = 28; N = 4, R = 115.
N = 5, R = 52; N = 6, R = 123; N = 7, R = 60; N = 8, R = 227.
N = 9, R = 100; N = 10, R = 235; N = 11, R = 108; N = 12, R = 243.
N = 13, R = 116; N = 14, R = 251.

Среди результатов, которые больше 95, наименьший равен 100. Он достигается при N = 9.

Проверка выбранного входа: N = 9 = 1001₂.
Преобразованная запись: 1100100₂.
R = 64 + 32 + 4 = 100.
Полученное значение удовлетворяет условию. Полный перебор с доказанной границей подтверждает требуемый экстремум. В ответ записываем R.

Ответ: 100.

Задание EGEINF155886: Преобразование записи числа

Решение задания EGEINF155886

Помочь улучшить сайт

Комментарии к решению