ФИПИ · ЕГЭ · все форматы ответа · 2475 заданий
Тип задачи: Игры и выигрышные стратегии.
| КЭС: | 2.13 Графы. Основные понятия. Виды графов. Описание графов с помощью матриц смежности, весовых матриц, списков смежности. Решение алгоритмических задач, связанных с анализом графов (построение оптимального пути между вершинами графа, определение количества различных путей между вершинами ориентированного ациклического графа) 2.14 Деревья. Бинарное дерево. Деревья поиска. Способы обхода дерева. Представление арифметических выражений в виде дерева. Использование графов и деревьев при описании объектов и процессов окружающего мира 3.2 Оценка сложности вычислений. Время работы и объём используемой памяти, их зависимость от размера исходных данных. Оценка асимптотической сложности алгоритмов. Алгоритмы полиномиальной сложности. Переборные алгоритмы. Примеры различных алгоритмов решения одной задачи, которые имеют различную сложность 3.3 Определение возможных результатов работы простейших алгоритмов управления исполнителями и вычислительных алгоритмов. Определение исходных данных, при которых алгоритм может дать требуемый результат 3.10 Массивы и последовательности чисел. Вычисление обобщённых характеристик элементов массива или числовой последовательности (суммы, произведения, среднего арифметического, минимального и максимального элементов, количества элементов, удовлетворяющих заданному условию). Линейный поиск заданного значения в массиве. Алгоритмы работы с элементами массива с однократным просмотром массива. Сортировка одномерного массива. Простые методы сортировки (метод пузырька, метод выбора, сортировка вставками). Сортировка слиянием. Быстрая сортировка массива (алгоритм QuickSort). Двоичный поиск в отсортированном массиве 3.11 Двумерные массивы (матрицы). Алгоритмы обработки двумерных массивов: заполнение двумерного числового массива по заданным правилам, поиск элемента в двумерном массиве, вычисление максимума (минимума) и суммы элементов двумерного массива, перестановка строк и столбцов двумерного массива 3.12 Словари (ассоциативные массивы, отображения). Хэш-таблицы. Построение алфавитно-частотного словаря для заданного текста 3.13 Стеки. Анализ правильности скобочного выражения. Вычисление арифметического выражения, записанного в постфиксной форме. Очереди. Использование очереди для временного хранения данных 3.14 Алгоритмы на графах. Построение минимального остовного дерева взвешенного связного неориентированного графа. Количество различных путей между вершинами ориентированного ациклического графа. Алгоритм Дейкстры 3.15 Деревья. Реализация дерева с помощью ссылочных структур. Двоичные (бинарные) деревья. Построение дерева для заданного арифметического выражения. Рекурсивные алгоритмы обхода дерева. Использование стека и очереди для обхода дерева |
| Тип ответа: | Развернутый ответ |
Ответ: 1а) 29–57; 1б) 15; 2) 25; 3) 24
Решение.
Позиция задаётся числом камней или упорядоченной парой чисел. Первый ход делает Петя; затем игроки чередуются. Игра заканчивается сразу после достижения порога 65.
Разрешено прибавить 1 к одной куче или умножить число камней в ней на 2. Порог проверяется по суммарному числу камней.
Для анализа идём от завершённых позиций назад. Позиция выигрышная, если есть хотя бы один ход в проигрышную для соперника. Позиция проигрышная, если все её ходы ведут в выигрышные. Все числа при ходе увеличиваются, поэтому такой обратный разбор заканчивается.
В1 означает победу текущего игрока одним ходом. П1 — отсутствие немедленной победы, причём каждый ход отдаёт сопернику В1. В2 — отсутствие выигрыша одним ходом, но есть переход в П1. П2 — каждый ход отдаёт В1 или В2, при этом хотя бы один отдаёт В2.
Разрешённая область: 1 ≤ S ≤ 57. Первая куча содержит 7 камней.
Задание 1а. Значения с немедленной победой Пети: 29–57. Выигрывающий ход — умножение большей кучи.
Максимальные суммы после команд при S = 28: 36, 42, 63; все меньше 65. На границе S = 29 умножение большей кучи даёт сумму 65 ≥ 65. Монотонность команд доказывает обе границы диапазона немедленной победы.
Обратная классификация всех начальных позиций даёт П1: нет; В2: 25, 28; П2: 24, 27.
Задание 1б. Минимум S = 15: возможна партия (7; 15) → (7; 30) → (7; 60). Промежуточная сумма 37 меньше 65, конечная 67 достигает порога.
При S = 14 максимальная сумма после любых двух ходов равна 63 меньше 65. Все команды монотонны по S, поэтому при меньших S такая победа Вани также невозможна.
Задание 2. Выберем S = 25.
Из позиции (7; 25) выигрывает Петя.
Таблица содержит все партии при выбранной стратегии. В столбце указаны игрок и номер его собственного хода, в клетке — позиция после этого хода. После конечной позиции игра прекращается; прочерк означает, что следующего хода уже нет.
| № | Начало | Петя 1 | Ваня 1 | Петя 2 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | (7; 25) | (14; 25) | (15; 25) | (15; 50) |
| 2 | (7; 25) | (14; 25) | (28; 25) | (28; 50) |
| 3 | (7; 25) | (14; 25) | (14; 26) | (14; 52) |
| 4 | (7; 25) | (14; 25) | (14; 50) | (14; 51) |
В выигрышных вершинах оставлен один выбранный ход, в вершинах соперника перечислены все допустимые продолжения. Поэтому это дерево стратегии, охватывающее любую игру соперника.
Задание 3. Выберем S = 24.
Из позиции (7; 24) выигрывает Ваня.
Таблица содержит все партии при выбранной стратегии. В столбце указаны игрок и номер его собственного хода, в клетке — позиция после этого хода. После конечной позиции игра прекращается; прочерк означает, что следующего хода уже нет.
| № | Начало | Петя 1 | Ваня 1 | Петя 2 | Ваня 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | (7; 24) | (8; 24) | (16; 24) | (17; 24) | (17; 48) |
| 2 | (7; 24) | (8; 24) | (16; 24) | (32; 24) | (32; 48) |
| 3 | (7; 24) | (8; 24) | (16; 24) | (16; 25) | (16; 50) |
| 4 | (7; 24) | (8; 24) | (16; 24) | (16; 48) | (16; 49) |
| 5 | (7; 24) | (14; 24) | (14; 25) | (15; 25) | (15; 50) |
| 6 | (7; 24) | (14; 24) | (14; 25) | (28; 25) | (28; 50) |
| 7 | (7; 24) | (14; 24) | (14; 25) | (14; 26) | (14; 52) |
| 8 | (7; 24) | (14; 24) | (14; 25) | (14; 50) | (14; 51) |
| 9 | (7; 24) | (7; 25) | (14; 25) | (15; 25) | (15; 50) |
| 10 | (7; 24) | (7; 25) | (14; 25) | (28; 25) | (28; 50) |
| 11 | (7; 24) | (7; 25) | (14; 25) | (14; 26) | (14; 52) |
| 12 | (7; 24) | (7; 25) | (14; 25) | (14; 50) | (14; 51) |
| 13 | (7; 24) | (7; 48) | (7; 96) | — | — |
В выигрышных вершинах оставлен один выбранный ход, в вершинах соперника перечислены все допустимые продолжения. Поэтому это дерево стратегии, охватывающее любую игру соперника.
В деревьях задания 2 Петя завершает игру своим вторым ходом. В задании 3 Ваня завершает любую партию первым или вторым своим ходом; хотя бы одна ветвь требует второго хода. По классификации П2 гарантированной победы Вани первым ходом нет.
Проверка: все переходы в перечисленных партиях являются разрешёнными командами, промежуточные позиции не заканчивают игру, а каждый лист достигает требуемого порога. Чётность последнего хода совпадает с указанным победителем. Все ответы соперника включены, поэтому стратегия гарантирует результат.
Ответ: 1а) 29–57; 1б) 15; 2) 25; 3) 24.
Напишите пожелание к сайту или решению либо сообщите о найденной неточности в задании EGEINF0BEB29.
Сообщение увидит только команда сайта: на странице оно не публикуется.
Комментарии к решению
Комментарии видны всем посетителям сайта.
Комментариев пока нет. Будьте первым.
Чтобы оставить комментарий, войдите или зарегистрируйтесь.