Задание EGEINF0B738A: Графы, таблицы и маршруты

Решение.
Рисунок и таблица описывают одни и те же дороги. Буквенные обозначения нельзя сопоставлять номерам по положению на рисунке: нужно сохранить связи между пунктами. Пустая клетка означает отсутствие прямой дороги.
Степень вершины — число выходящих из неё дорог. На рисунке: А — 6, Б — 2, В — 3, Г — 3, Д — 3, Е — 3, К — 2.
В таблице степени равны: 1 — 2, 2 — 3, 3 — 6, 4 — 2, 5 — 3, 6 — 3, 7 — 3.
Сопоставлять можно только вершины одинаковой степени. Затем сравниваем, с какими группами вершин связаны их соседи; если наборы различаются, соответствие исключаем. Повторяем уточнение, пока группы перестанут делиться.
Уточнение 1: А ∈ {3}; Б ∈ {1, 4}; В ∈ {2, 6}; Г ∈ {5, 7}; Д ∈ {5, 7}; Е ∈ {2, 6}; К ∈ {1, 4}.
Уточнение 2: А ∈ {3}; Б ∈ {1, 4}; В ∈ {2, 6}; Г ∈ {5, 7}; Д ∈ {5, 7}; Е ∈ {2, 6}; К ∈ {1, 4}.
Внутри оставшихся групп перебираем взаимно однозначные соответствия. Всего вариантов: 8. Для каждого проверяем все пары пунктов: и наличие дороги, и её отсутствие должны совпадать.
Подходит: А=3, Б=1, В=2, Г=5, Д=7, Е=6, К=4.
А=3, Б=1, В=2, Г=7, Д=5, Е=6, К=4: исключаем — на рисунке есть дорога В–Г, а в клетке 2–7 пусто.
А=3, Б=1, В=6, Г=5, Д=7, Е=2, К=4: исключаем — на рисунке есть дорога Б–В, а в клетке 1–6 пусто.
А=3, Б=1, В=6, Г=7, Д=5, Е=2, К=4: исключаем — на рисунке есть дорога Б–В, а в клетке 1–6 пусто.
А=3, Б=4, В=2, Г=5, Д=7, Е=6, К=1: исключаем — на рисунке есть дорога Б–В, а в клетке 4–2 пусто.
А=3, Б=4, В=2, Г=7, Д=5, Е=6, К=1: исключаем — на рисунке есть дорога Б–В, а в клетке 4–2 пусто.
А=3, Б=4, В=6, Г=5, Д=7, Е=2, К=1: исключаем — на рисунке есть дорога В–Г, а в клетке 6–5 пусто.
Подходит: А=3, Б=4, В=6, Г=7, Д=5, Е=2, К=1.
Для соответствия 1: В–Г соответствует 2–5, длина 6; Д–Е соответствует 7–6, длина 13.
Сумма длин: 6 + 13 = 19.
Для соответствия 2: В–Г соответствует 6–7, длина 13; Д–Е соответствует 5–2, длина 6.
Сумма длин: 13 + 6 = 19.
Во всех допустимых соответствиях искомая величина одинакова и равна 19. Наличие нескольких соответствий, если они есть, поэтому не создаёт неоднозначности ответа.
Проверка первого допустимого соответствия по всем дорогам рисунка: АБ → 3–1; АВ → 3–2; АГ → 3–5; АД → 3–7; АЕ → 3–6; АК → 3–4; БВ → 1–2; ВГ → 2–5; ГД → 5–7; ДЕ → 7–6; ЕК → 6–4.
Все перечисленные клетки непусты, а число дорог в таблице равно числу рёбер рисунка. Значит, лишних связей не появилось. Остальные варианты либо прошли ту же проверку, либо исключены указанным противоречием.
Ответ: 19.