Задание EGEINF064F20: Подсчёт программ исполнителя

Начало: 19. Цель: 2.
Команды: A — n − 1; B — n − 4; C — ⌊n3⌋.
Обязательные числа: 15.
Запрещённые числа: 9.
Скобки ⌊ ⌋ означают целую часть: остаток от деления отбрасывается.

На рассматриваемом промежутке каждая разрешённая команда строго изменяет число: оно убывает. Поэтому возвращений и циклов нет. Если выйти за конечную границу в направлении движения, вернуться к цели уже нельзя. Обязательные числа посещаются в единственном порядке: 19 → 15 → 2. Разобьём путь в этих точках. Любую программу первого этапа можно соединить с любой программой следующего; разбиение единственно. Поэтому количества программ на этапах перемножаются.

На каждом этапе считаем число программ из его начального числа в n. Для первого этапа обозначим его F(n), для следующих используем G(n) и H(n), если они нужны. В начальной точке значение равно 1: это пустая программа. Для недостижимого числа, нецелого аргумента и числа вне промежутка этапа значение равно 0. В запрещённой точке также ставим 0: продолжать путь через неё нельзя.
Любая непустая программа заканчивается одной из разрешённых команд. Складываем количества программ для всех её допустимых предшественников. Если разные команды ведут из одного числа в одно и то же число, это разные программы: соответствующее слагаемое учитывается повторно.
Для остальных точек общая формула имеет вид:
F(n) = F(n + 1) + F(n + 4) + F(3n) + F(3n + 1) + F(3n + 2).
Целая часть деления на 3 равна n для исходных чисел 3n, 3n + 1, 3n + 2. Учитываем каждый из этих прообразов. Нулевые слагаемые из-за выхода за промежуток ниже опускаем. Для G и H действует та же формула со своей начальной точкой.

Этап 1: 19 → 15.
F(19) = 1.
F(18) = F(19) = 1.
F(17) = F(18) = 1.
F(16) = F(17) = 1.
F(15) = F(19) + F(16) = 1 + 1 = 2.

Этап 2: 15 → 2.
G(15) = 1.
G(14) = G(15) = 1.
G(13) = G(14) = 1.
G(12) = G(13) = 1.
G(11) = G(15) + G(12) = 1 + 1 = 2.
G(10) = G(14) + G(11) = 1 + 2 = 3.
G(9) = 0.
G(8) = G(12) = 1.
G(7) = G(11) + G(8) = 2 + 1 = 3.
G(6) = G(10) + G(7) = 3 + 3 = 6.
G(5) = G(15) + G(6) = 1 + 6 = 7.
G(4) = G(14) + G(13) + G(12) + G(8) + G(5) = 1 + 1 + 1 + 1 + 7 = 11.
G(3) = G(11) + G(10) + G(7) + G(4) = 2 + 3 + 3 + 11 = 19.
G(2) = G(8) + G(7) + G(6) + G(6) + G(3) = 1 + 3 + 6 + 6 + 19 = 35.

Перемножим результаты этапов: 2 · 35 = 70.
Всего программ: 70.

Проверка. Независимый перебор последовательностей команд начинается с исходного числа и пробует каждую разрешённую команду отдельной ветвью. Ветка прекращается при попадании в запрещённое число или при выходе за цель. При достижении цели учитываем её только после посещения всех обязательных чисел. Такой перебор даёт 70 программ — столько же, сколько поэтапный подсчёт. Запрещённые значения учтены на каждом этапе; при соединении этапов обязательные числа не пропускаются. Нужное количество записываем одним целым числом.

Ответ: 70.