Задание E34C05: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: 81 · x² ≤ 16.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: 81 · x² − (16) ≤ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (9 · x − 4) · (9 · x + 4); требуется f(x) ≤ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −49, 49.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −49): при x = −2 получаем f(x) = 308, знак положителен.
(−49; 49): при x = 0 получаем f(x) = −16, знак отрицателен.
(49; +∞): при x = 2 получаем f(x) = 308, знак положителен.
x = −49 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 49 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≤, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ [−49; 49].
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

В условии требуется номер варианта. Найденному множеству [−49; 49] соответствует вариант 2.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: 2.