Задание D9F592: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: 3 · x² − 24 · x + 48x + 8 ≤ 0.
Исключаем нули исходных знаменателей: x ≠ −8. Эти ограничения сохраняем и после сокращений.

2. Перенесём правую часть влево: 3 · x² − 24 · x + 48x + 8 − (0) ≤ 0.
Правая часть равна нулю. Преобразуем числитель и знаменатель, сохраняя исходные ограничения.
3 · x² − 24 · x + 48 = 3 · (x − 4)².
Итак, исследуем знак выражения f(x) = 3 · (x − 4)²x + 8; требуется f(x) ≤ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −8, 4.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −8): при x = −9 получаем f(x) = −507, знак отрицателен.
(−8; 4): при x = −7 получаем f(x) = 363, знак положителен.
(4; +∞): при x = 5 получаем f(x) = 313, знак положителен.
x = −8 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.
x = 4 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≤, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; −8) ∪ {4}.
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (−∞; −8) ∪ {4}.