Задание C9079E: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. По исходному рисунку множество решений: (−6; 6). Пустые точки не входят в него, закрашенные входят. Сравним это множество с решениями предложенных неравенств.

2. Вариант 1: x² − 36 > 0.
Перенесём правую часть влево: x² − 36 − (0) > 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 36 = (x − 6) · (x + 6).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 6) · (x + 6); требуется f(x) > 0.
Критические точки в порядке возрастания: −6, 6.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −6): при x = −7 получаем f(x) = 13, знак положителен.
(−6; 6): при x = −5 получаем f(x) = −11, знак отрицателен.
(6; +∞): при x = 7 получаем f(x) = 13, знак положителен.
x = −6 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 6 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
Множество решений: (−∞; −6) ∪ (6; +∞).

3. Вариант 2: x² + 36 > 0.
Перенесём правую часть влево: x² + 36 − (0) > 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = x² + 36; требуется f(x) > 0.
Действительных нулей и точек разрыва нет.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; +∞): при x = 0 получаем f(x) = 36, знак положителен.
Множество решений: (−∞; +∞).

4. Вариант 3: x² − 36 < 0.
Перенесём правую часть влево: x² − 36 − (0) < 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 36 = (x − 6) · (x + 6).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 6) · (x + 6); требуется f(x) < 0.
Критические точки в порядке возрастания: −6, 6.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −6): при x = −7 получаем f(x) = 13, знак положителен.
(−6; 6): при x = −5 получаем f(x) = −11, знак отрицателен.
(6; +∞): при x = 7 получаем f(x) = 13, знак положителен.
x = −6 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 6 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
Множество решений: (−6; 6).

5. Вариант 4: x² + 36 < 0.
Перенесём правую часть влево: x² + 36 − (0) < 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = x² + 36; требуется f(x) < 0.
Действительных нулей и точек разрыва нет.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; +∞): при x = 0 получаем f(x) = 36, знак положителен.
Множество решений: ∅.

6. Только вариант 3 даёт в точности отмеченное на рисунке множество (−6; 6).

В условии требуется номер варианта. Найденному множеству (−6; 6) соответствует вариант 3.

Проверка полноты: решения всех четырёх неравенств сопоставлены с границами и отмеченными промежутками рисунка.

Ответ: 3.