Задание C8CB59: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Исходное уравнение: x²−2x+√2−x=√2−x+3. Квадратные корни определены, если 2 − x неотрицательно. Область допустимых значений: x ≤ 2.

2. На этой области одинаковое слагаемое √2 − x можно вычесть из обеих частей. Получаем x² − 2x − 3 = 0. Область x ≤ 2 сохраняем; возводить уравнение в квадрат не требуется.

3. Решим полученное квадратное уравнение:
x² − 2x − 3 = 0.
D = (−2)² − 4 · (1) · (−3) = 16.
√16 = 4. По формуле корней x = −(−2) ± 42 · (1).
Получаем x = −1, x = 3.

4. Проверим каждого кандидата по исходной области:
x = −1: 2 − (−1) = 3; подкоренное выражение неотрицательно, корень подходит.
x = 3: 2 − (3) = −1; подкоренное выражение отрицательно, значение недопустимо.

5. Проверка принятого корня x = −1. Подкоренное выражение равно 3, а часть без корня равна (−1)² + (−2) · (−1) = 3. Поэтому обе части исходного уравнения равны 3 + √3. Все преобразования на области допустимых значений равносильны, других корней нет.

Ответ: −1.