Задание BCC653: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (2 − x) · (x² + 2 · x − 8) ≥ 0.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (2 − x) · (x² + 2 · x − 8) − (0) ≥ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² + 2 · x − 8 = (x − 2) · (x + 4).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = −(x − 2)² · (x + 4); требуется f(x) ≥ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −4, 2.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −4): при x = −5 получаем f(x) = 49, знак положителен.
(−4; 2): при x = −3 получаем f(x) = −25, знак отрицателен.
(2; +∞): при x = 3 получаем f(x) = −7, знак отрицателен.
x = −4 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 2 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≥, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; −4] ∪ {2}.
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (−∞; −4] ∪ {2}.