Задание B35E5A: Треугольник

1. Угол при вершине B тупой. Поэтому основания высот A₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон за вершину B. Угол A₁BC₁ равен углу ABC как вертикальный.

2. Обозначим острый угол, смежный с углом B, через φ. Из прямоугольных треугольников ABA₁ и CBC₁ следует: BA₁ = BA cos φ и BC₁ = BC cos φ.

3. Следовательно, BA₁BA = BC₁BC = cos φ. У треугольников A₁BC₁ и ABC стороны, заключающие равные углы при B, пропорциональны. Значит, эти треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними.

Проверка: cos φ положителен, потому что φ острый. Проекции взяты на продолжения сторон с положительными длинами; тупой угол между соответствующими сторонами сохранён.

Ответ: Доказано.