Задание B2E06B: Оптика

1. Система отсчёта связана с неподвижной тонкой линзой; ось x направлена по главной оптической оси вправо, ось y — вверх. Начало координат O в центре линзы. Используем модель геометрической оптики и параксиальную формулу тонкой линзы. Механического движения нет, уравнения сил не требуются. Для точки предмета d>0 — расстояние до линзы, y — высота; для действительного изображения f>0. Тогда
1F = 1d + 1f,
f = Fdd − F,
y′ = −fd · y = −Fd − F · y.
Знак минус означает переворот относительно оси.
Обозначим ближнюю осевую вершину A, вершину прямого угла B, верхнюю C. На исходном рисунке B находится на 2F, A ближе к линзе на c. Поэтому d_B=d_C=2F, d_A=2F−c; BC=c tg α.
2. Изображение вертикального катета BC находится на 2F и имеет тот же модуль высоты: f_B=f_C=2F, B′C′=c tg α. Для A:
f_A = F(2F − c)F − c.
Осевой катет изображения:
A′B′ = f_A − 2F = FcF − c.
3. Тангенс острого угла гипотенузы с осью равен отношению катетов:
tg β = B′C′A′B′ = c tg αFc ÷ (F − c) = F − cF · tg α.
Подстановка F=20 см, c=2 см, α=60°:
tg β = 20 − 220 · √3 = 9√310 ≈ 1,559.
Для построения численно:
f_B=f_C=40 см, f_A=3809 см,
A′B′=209 см, B′C′=2√3 см.
Построение. Для внеосевой вершины проводим луч параллельно главной оси: после линзы он идёт через задний фокус. Второй луч через O не отклоняется. Их пересечение даёт изображение вершины. Для осевой вершины один луч идёт по оси, второй наклонный луч после линзы пересекает его в рассчитанной точке f; его направление подчиняется той же формуле линзы. Соединяем изображения соседних вершин. Прямые стороны переходят в прямые: все их точки лежат в одной плоскости лучей, а отображение координат выше сохраняет прямолинейность. На рисунке отдельно увеличена получившаяся фигура; масштаб по обеим осям этой детали одинаковый.
Проверка. Для ближней вершины d_A=38 см и f_A=380÷9 см сумма 1÷38+9÷380=1÷20. Отношение 2√3 к 20÷9 даёт 9√3÷10. Тангенс немного меньше исходного √3: продольный катет изображения увеличился с 2 до 20÷9 см, а поперечный сохранился. Здесь F=20 см; подстановка фокусного расстояния 30 см из похожего варианта дала бы другой ответ.

Ответ: tg β = 9√310 ≈ 1,56.