Задание A5ABF3: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: 1x ≥ 1x − 5.
Исключаем нули исходных знаменателей: x ≠ 0, x ≠ 5. Эти ограничения сохраняем и после сокращений.

2. Перенесём правую часть влево: 1x − (1x − 5) ≥ 0.
Приведём к общему знаменателю, сохраняя исходные ограничения:
(1) · (x − 5) − (1) · (x)(x) · (x − 5) ≥ 0.
После раскрытия скобок и приведения подобных:
−5x · (x − 5) ≥ 0.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = −5x · (x − 5); требуется f(x) ≥ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: 0, 5.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; 0): при x = −1 получаем f(x) = −56, знак отрицателен.
(0; 5): при x = 1 получаем f(x) = 1,25, знак положителен.
(5; +∞): при x = 6 получаем f(x) = −56, знак отрицателен.
x = 0 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.
x = 5 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≥, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (0; 5).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (0; 5).