Задание 97AEB6: Профильная математика

Область определения задаётся положительностью аргумента логарифма: x+7>0, то есть x>−7.

Используем (ln u)′=u′u. Производная функции: y′=−9+9x+7.

Приравниваем её к нулю и умножаем на положительный знаменатель: −9·(x+7)+(9)=0. После раскрытия скобок: −9x−54=0. Отсюда x=54−9=−6. Эта точка больше −7 и допустима.

Производную можно представить как y′=−9·(x−(−6))x+7. Знаменатель положителен; знак определяет числитель. При x<−6 знак плюс, при x>−6 — минус.

Слева функция возрастает, справа убывает. Поэтому в x=−6 находится точка максимума: производная меняет знак с «+» на «−».

Весь заданный отрезок [−6,5; 0] входит в область определения, а −6,5<−6<0. Доказанная смена монотонности показывает, что нужное наибольшее значение достигается именно здесь.

Аргумент логарифма в этой точке равен 1·(−6)+(7)=1, поэтому ln1=0. Получаем y(−6)=−9·(−6)+9·0+(4)=58.

Ответ: 58.