Задание 963FCF: Электромагнитная индукция

Систему отсчёта свяжем с Землёй и будем считать инерциальной. Ось Ox направим вдоль рельсов по скорости стержня, ось Oy — вдоль стержня от нижнего рельса к верхнему на рисунке, ось Oz — вертикально вверх. Магнитное поле направлено вверх, перпендикулярно плоскости рельсов, что на виде сверху обозначено точкой в кружке.

По правилу Ленца индукционный ток создаёт силу Ампера F_А против движения стержня. При равномерном движении её компенсирует результирующая остальных горизонтальных сил F_внеш; по вертикали сила тяжести и реакции рельсов уравновешены:
F_внеш−F_А=0,
N−mg=0.
Здесь N — суммарная вертикальная реакция рельсов. Величины механических сил для нахождения скорости не требуются: используем электрические данные.

При движении стержня площадь контура изменяется. За время Δt она увеличивается на l·v·Δt, поэтому изменение магнитного потока по модулю равно B·l·v·Δt. Из закона электромагнитной индукции получаем модуль ЭДС движения:
ε=|ΔΦ|Δt=Blv.
Скорость, длина стержня и магнитная индукция взаимно перпендикулярны.

Энергия магнитного поля катушки
W=LI²2,
где I — модуль силы тока. По условию W постоянна, индуктивность L также постоянна, следовательно, ток в установившемся режиме не меняется. ЭДС самоиндукции равна нулю. При последовательном соединении ток через катушку и резистор один и тот же, а всё сопротивление цепи равно R. Закон Ома даёт
I=εR=BlvR.
Из выражения для энергии найдём ток, затем скорость:
I=√2WL,
v=IRBl=RBl·√2WL.

Переведём величины в СИ: L=10 мГн=0,010 Гн, l=10 см=0,10 м, W=8 мкДж=8·10⁻⁶ Дж.
Подстановка:
I=√2·8·10⁻⁶ Дж0,010 Гн=0,040 А,
v=0,040 А·1 Ом1 Тл·0,10 м=0,4 м·с⁻¹.

Проверка обратной подстановкой. Для найденной скорости
ε=Blv,
I=εR,
W=LI²2.
Подстановка:
ε=1 Тл·0,10 м·0,4 м·с⁻¹=0,040 В,
I=0,040 В1 Ом=0,040 А,
W=0,010 Гн·0,0016 А²2=8·10⁻⁶ Дж=8 мкДж.
Получена заданная энергия. Направление тока в стержне — от верхнего рельса к нижнему, поэтому сила Ампера направлена влево, в согласии с правилом Ленца.

Ответ: 0,4 м·с⁻¹.