Задание 8FB942: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Исходное уравнение x(x²+2x+1)=6(x+1) определено при всех действительных x. Найдём все корни, сохранив значения, при которых общий множитель обращается в ноль.

2. Квадратный трёхчлен в левой части — полный квадрат:
x² + 2x + 1 = (x + 1)².
Перенесём правую часть влево и вынесем общий множитель:
(x + 1) · (x · (x + 1) − 6) = 0.
На x + 1 не делим: иначе можно потерять корень x = −1.

3. Первый множитель даёт x = −1. Второй даёт уравнение x · (x + 1) − 6 = 0. Раскроем скобки и решим его:
x² + x − 6 = 0.
D = (1)² − 4 · (1) · (−6) = 25.
√25 = 5. По формуле корней x = −(1) ± 52 · (1).
Получаем x = −3, x = 2.

4. Объединим полученные значения: −3, −1, 2. Проверка каждого корня в исходном уравнении:
x = −3: слева (−3)((−3)²+2(−3)+1) = −12; справа 6((−3)+1) = −12.
x = −1: слева (−1)((−1)²+2(−1)+1) = 0; справа 6((−1)+1) = 0.
x = 2: слева (2)((2)²+2(2)+1) = 18; справа 6((2)+1) = 18.
Все значения допустимы. Общий множитель и оставшийся квадратный множитель полностью исследованы, поэтому других корней нет.

Ответ: −3; −1; 2.