Задание 89CAAE: Треугольник

1. Обозначим F точку пересечения AD и BE. Треугольники ABF и DBF прямоугольные, имеют общий катет BF и равные углы ABF и FBD, так как BE — биссектриса. Они равны, поэтому AF = FD и AB = BD.

2. Так как AD = 12, имеем AF = FD = 6. Точка D — середина BC, значит BC = 2BD = 2AB. По теореме о биссектрисе AE : EC = AB : BC = 1 : 2.

3. Проведём из C перпендикуляр CG к BE. Из подобия прямоугольных треугольников BDF и BCG, учитывая BC = 2BD, получаем CG = 2DF. Треугольники AFE и CGE подобны, поэтому FE : EG = AF : CG = 1 : 2. Кроме того, BG = 2BF. Отсюда BE = BF + FE и BG = BE + EG = BF + 3FE. Значит, BF = 3FE.

4. Из BE = 12 получаем FE = 3, BF = 9. По теореме Пифагора AB = √BF² + AF² = √9² + 6² = 3√13. Следовательно, BC = 6√13.

5. В прямоугольном треугольнике AFE имеем AE = √AF² + FE² = 3√5. Так как AC = 3AE, получаем AC = 9√5.

Проверка: AB : BC = 1 : 2 = AE : EC; AF + FD = 12, BF + FE = 12. Высота AF перпендикулярна BE, поэтому исходные длины и перпендикулярность выполнены.

Ответ: AB = 3√13, BC = 6√13, AC = 9√5.