Задание 84CE9A: Треугольник

1. Продлим боковые стороны трапеции до пересечения в точке P со стороны меньшего основания. Углы при большем основании в сумме дают 90°, поэтому угол при P равен 90°. Получается прямоугольный треугольник, отсечённый прямой, параллельной гипотенузе.

2. Обозначим основания через a и b, где a больше b. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, — средняя линия трапеции; его длина равна a + b2.

3. Пусть M и N — середины оснований. В каждом из двух прямоугольных треугольников медиана из P равна половине гипотенузы: PM = a2, PN = b2. Точки P, N, M лежат на одной прямой по подобию. Поэтому MN = a − b2.

4. Полусумма оснований больше полуразности. Следовательно, a + b = 2 · 19 = 38, a − b = 2 · 17 = 34. Складываем уравнения: a = 36; затем b = 2.

Проверка: 36 + 22 = 19, а 36 − 22 = 17; оба данных отрезка восстановлены.

Ответ: 2 и 36.