Задание 7DD37C: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: 2 · x² − 12 · x + 18x + 4 ≤ 0.
Исключаем нули исходных знаменателей: x ≠ −4. Эти ограничения сохраняем и после сокращений.

2. Перенесём правую часть влево: 2 · x² − 12 · x + 18x + 4 − (0) ≤ 0.
Правая часть равна нулю. Преобразуем числитель и знаменатель, сохраняя исходные ограничения.
2 · x² − 12 · x + 18 = 2 · (x − 3)².
Итак, исследуем знак выражения f(x) = 2 · (x − 3)²x + 4; требуется f(x) ≤ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −4, 3.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −4): при x = −5 получаем f(x) = −128, знак отрицателен.
(−4; 3): при x = −3 получаем f(x) = 72, знак положителен.
(3; +∞): при x = 4 получаем f(x) = 0,25, знак положителен.
x = −4 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.
x = 3 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≤, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; −4) ∪ {3}.
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (−∞; −4) ∪ {3}.