Задание 7D75F6: Колебания и волны

Систему отсчёта свяжем с Землёй и будем считать инерциальной. Ось Ox направим горизонтально вправо вдоль пружины, начало координат O выберем в положении равновесия, где пружина не деформирована. Ось Oy направим вверх. Через x обозначим смещение груза от O, через A — амплитуду колебаний.

На груз действуют сила тяжести mg вниз, суммарная реакция опоры N=N₁+N₂ вверх и сила упругости F_упр вдоль пружины к положению равновесия. Свободные гармонические колебания рассматриваем без потерь энергии. По вертикали ускорения нет, а по горизонтали применяем закон Гука и второй закон Ньютона:
N−mg=0,
F_упр,x=−kx,
ma_x=−kx.
Следовательно, модуль силы упругости равен k|x| и достигает максимума при |x|=A:
F_max=kA.

Найдём A через заданную максимальную скорость v_max. Силы N и mg перпендикулярны перемещению и работы не совершают; сила упругости консервативна. Поэтому механическая энергия системы «груз — пружина» сохраняется:
E=mv²2+kx²2.
В крайнем положении скорость нулевая, а при прохождении O потенциальная энергия пружины минимальна и скорость максимальна. Значит,
kA²2=mv_max²2,
A=v_max·√mk.
Подставляя это выражение в закон Гука, получаем общую формулу:
F_max=k·v_max·√mk=v_max·√km.

Подстановка:
F_max=1 м·с⁻¹·√200 Н·м⁻¹·2 кг=20 Н.

Проверка. Из найденной силы определим амплитуду:
A=F_maxk.
Подстановка:
A=20 Н200 Н·м⁻¹=0,1 м.
Энергия в крайнем положении равна
E=kA²2.
Подстановка:
E=200 Н·м⁻¹·0,01 м²2=1 Дж.
Максимальная кинетическая энергия равна
K_max=mv_max²2.
Подстановка:
K_max=2 кг·1 м²·с⁻²2=1 Дж.
Энергии совпадают. Максимумы скорости и силы достигаются в разные моменты: скорость максимальна в O, а сила — в крайних положениях.

Ответ: 20 Н.