Задание 78DAE9: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: 2 · x − x² ≤ 0.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: 2 · x − x² − (0) ≤ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
−x² + 2 · x = −x · (x − 2).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = −x · (x − 2); требуется f(x) ≤ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: 0, 2.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; 0): при x = −1 получаем f(x) = −3, знак отрицателен.
(0; 2): при x = 1 получаем f(x) = 1, знак положителен.
(2; +∞): при x = 3 получаем f(x) = −3, знак отрицателен.
x = 0 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 2 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≤, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; 0] ∪ [2; +∞).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

В условии требуется номер варианта. Найденному множеству (−∞; 0] ∪ [2; +∞) соответствует вариант 1.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: 1.