Задание 728662: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (8 − x) · (x² − 64) ≥ 0.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (8 − x) · (x² − 64) − (0) ≥ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 64 = (x − 8) · (x + 8).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = −(x − 8)² · (x + 8); требуется f(x) ≥ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −8, 8.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −8): при x = −9 получаем f(x) = 289, знак положителен.
(−8; 8): при x = −7 получаем f(x) = −225, знак отрицателен.
(8; +∞): при x = 9 получаем f(x) = −17, знак отрицателен.
x = −8 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 8 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≥, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; −8] ∪ {8}.
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (−∞; −8] ∪ {8}.