Задание 6FF9F5: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: x ≤ 64x.
Исключаем нули исходных знаменателей: x ≠ 0. Эти ограничения сохраняем и после сокращений.

2. Перенесём правую часть влево: x − (64x) ≤ 0.
Приведём к общему знаменателю, сохраняя исходные ограничения:
(x) · (x) − (64) · (1)(1) · (x) ≤ 0.
После раскрытия скобок и приведения подобных:
x² − 64x ≤ 0.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 8) · (x + 8)x; требуется f(x) ≤ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −8, 0, 8.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −8): при x = −9 получаем f(x) = −179, знак отрицателен.
(−8; 0): при x = −7 получаем f(x) = 157, знак положителен.
(0; 8): при x = 1 получаем f(x) = −63, знак отрицателен.
(8; +∞): при x = 9 получаем f(x) = 179, знак положителен.
x = −8 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 0 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.
x = 8 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≤, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; −8] ∪ (0; 8].
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (−∞; −8] ∪ (0; 8].