Задание 5A9DFE: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Решаем систему:
5x²+y²=36;
10x²+2y²=36x.
Обе части всех равенств — многочлены, поэтому допустимы любые действительные x и y. Ответом должны быть пары, одновременно удовлетворяющие двум уравнениям.

2. Левая часть второго уравнения равна левой части первого, умноженной на 2. Умножим всё первое равенство на 2 и вычтем его из второго. Квадратные члены сократятся:
−36x + 72 = 0.
Отсюда −36x = −72, поэтому x = −72−36 = 2.

3. Подставим x = 2 в первое уравнение:
5 · (2)² + y² = 36.
y² = 36 − 20 = 16.
y² = 16 = 4², поэтому y = −4 или y = 4. Оба знака подходят.

4. Проверка обеих пар в исходной системе:
Пара (2; −4):
5(2)²+(−4)² = 36, 36 = 36;
10(2)²+2(−4)² = 72, 36(2) = 72.
Пара (2; 4):
5(2)²+(4)² = 36, 36 = 36;
10(2)²+2(4)² = 72, 36(2) = 72.
Вычитание кратного первого уравнения из второго сохраняет равносильность. Значение x единственно, а для него найдены все возможные y.

Ответ: (2; −4); (2; 4).