Задание 512B74: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: x² − 25 > 0.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: x² − 25 − (0) > 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 25 = (x − 5) · (x + 5).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 5) · (x + 5); требуется f(x) > 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −5, 5.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −5): при x = −6 получаем f(x) = 11, знак положителен.
(−5; 5): при x = −4 получаем f(x) = −9, знак отрицателен.
(5; +∞): при x = 6 получаем f(x) = 11, знак положителен.
x = −5 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 5 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак >, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; −5) ∪ (5; +∞).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

В условии требуется номер варианта. Найденному множеству (−∞; −5) ∪ (5; +∞) соответствует вариант 1.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: 1.