Задание 4DCE6B: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Уравнение x⁴=(x−12)² определено при всех действительных x. Левая часть — квадрат x², правая — квадрат выражения x − 12. Используем разность квадратов, чтобы учесть оба возможных знака.

2. Перенесём правую часть влево и разложим разность квадратов:
(x² − (x − 12)) · (x² + (x − 12)) = 0.
После раскрытия скобок внутри множителей:
(x² − x + 12) · (x² + x − 12) = 0.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

3. Решим оба квадратных уравнения:
x² − x + 12 = 0.
D = (−1)² − 4 · (1) · (12) = −47.
Дискриминант отрицателен, поэтому действительных корней нет.

x² + x − 12 = 0.
D = (1)² − 4 · (1) · (−12) = 49.
√49 = 7. По формуле корней x = −(1) ± 72 · (1).
Получаем x = −4, x = 3.

4. Соберём все действительные корни: −4, 3. Проверка в исходном уравнении:
x = −4: слева (−4)⁴ = 256; справа ((−4)−12)² = 256.
x = 3: слева (3)⁴ = 81; справа ((3)−12)² = 81.
Разложение на множители равносильно исходному равенству, а оба множителя исследованы полностью. Поэтому других корней нет.

Ответ: −4; 3.