Задание 35567C: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (x + 9) · (x − 4) < 0.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (x + 9) · (x − 4) − (0) < 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 4) · (x + 9); требуется f(x) < 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −9, 4.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −9): при x = −10 получаем f(x) = 14, знак положителен.
(−9; 4): при x = −8 получаем f(x) = −12, знак отрицателен.
(4; +∞): при x = 5 получаем f(x) = 14, знак положителен.
x = −9 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 4 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак <, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−9; 4).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

В условии требуется номер варианта. Найденному множеству (−9; 4) соответствует вариант 1.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: 1.