Задание 344BE0: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Исходное уравнение (x−1)(x²+4x+4)=4(x+2) определено при всех действительных x. Найдём все корни, сохранив значения, при которых общий множитель обращается в ноль.

2. Квадратный трёхчлен в левой части — полный квадрат:
x² + 4x + 4 = (x + 2)².
Перенесём правую часть влево и вынесем общий множитель:
(x + 2) · ((x−1) · (x + 2) − 4) = 0.
На x + 2 не делим: иначе можно потерять корень x = −2.

3. Первый множитель даёт x = −2. Второй даёт уравнение (x−1) · (x + 2) − 4 = 0. Раскроем скобки и решим его:
x² + x − 6 = 0.
D = (1)² − 4 · (1) · (−6) = 25.
√25 = 5. По формуле корней x = −(1) ± 52 · (1).
Получаем x = −3, x = 2.

4. Объединим полученные значения: −3, −2, 2. Проверка каждого корня в исходном уравнении:
x = −3: слева ((−3)−1)((−3)²+4(−3)+4) = −4; справа 4((−3)+2) = −4.
x = −2: слева ((−2)−1)((−2)²+4(−2)+4) = 0; справа 4((−2)+2) = 0.
x = 2: слева ((2)−1)((2)²+4(2)+4) = 16; справа 4((2)+2) = 16.
Все значения допустимы. Общий множитель и оставшийся квадратный множитель полностью исследованы, поэтому других корней нет.

Ответ: −3; −2; 2.