Задание 2FEF51: Треугольник

1. Угол при вершине A тупой. Поэтому основания высот B₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон за вершину A. Угол B₁AC₁ равен углу BAC как вертикальный.

2. Обозначим острый угол, смежный с углом A, через φ. Из прямоугольных треугольников BAB₁ и CAC₁ следует: AB₁ = AB cos φ и AC₁ = AC cos φ.

3. Следовательно, AB₁AB = AC₁AC = cos φ. У треугольников AB₁C₁ и ABC стороны, заключающие равные углы при A, пропорциональны. Значит, эти треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними.

Проверка: cos φ положителен, потому что φ острый. Проекции взяты на продолжения сторон с положительными длинами; тупой угол между соответствующими сторонами сохранён.

Ответ: Доказано.