Задание 2EF3D2: Многоугольники

1. Треугольники ABD и ACD имеют общее основание AD. Их вершины B и C лежат на прямой BC, параллельной AD, поэтому высоты к AD равны. Значит, S(ABD) = S(ACD).

2. Диагонали пересекаются в точке P. Треугольник ABD состоит из треугольников ABP и APD, а треугольник ACD — из треугольников APD и CPD.

3. В этих разбиениях вычтем общий треугольник APD: в треугольнике ACD он вместе с CPD заполняет ACD, поскольку P лежит на AC. Поэтому S(ABP) = S(ABD) − S(APD), S(CPD) = S(ACD) − S(APD).

4. Из равных площадей вычитаем одну и ту же площадь и получаем S(APB) = S(CPD).

Проверка: обе исходные площади равны по общему основанию и одинаковой высоте; общий вычитаемый треугольник входит в каждую из них.

Ответ: Доказано.