Задание 2D3686: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: −15(x + 1)² − 3 ≥ 0.
Исключаем нули исходных знаменателей: x ≠ −1 − √3, x ≠ −1 + √3. Эти ограничения сохраняем и после сокращений.

2. Перенесём правую часть влево: −15(x + 1)² − 3 − (0) ≥ 0.
Правая часть равна нулю. Преобразуем числитель и знаменатель, сохраняя исходные ограничения.
(x + 1)² − 3 = x² + 2 · x − 2.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = −15x² + 2 · x − 2; требуется f(x) ≥ 0.
Найдём нули x² + 2 · x − 2: D = (2)² − 4 · (1) · (−2) = 12.
По формуле x = −(2) ± 2 · √32 · (1) получаем x = −1 − √3, x = −1 + √3.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −1 − √3, −1 + √3.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −1 − √3): при x = −4 получаем f(x) = −2,5, знак отрицателен.
(−1 − √3; −1 + √3): при x = −2 получаем f(x) = 7,5, знак положителен.
(−1 + √3; +∞): при x = 2 получаем f(x) = −2,5, знак отрицателен.
x = −1 − √3 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.
x = −1 + √3 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≥, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−1 − √3; −1 + √3).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (−1 − √3; −1 + √3).