Задание 2C832A: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: 25 · x² > 49.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: 25 · x² − (49) > 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (5 · x − 7) · (5 · x + 7); требуется f(x) > 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −1,4, 1,4.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −1,4): при x = −3 получаем f(x) = 176, знак положителен.
(−1,4; 1,4): при x = −1 получаем f(x) = −24, знак отрицателен.
(1,4; +∞): при x = 3 получаем f(x) = 176, знак положителен.
x = −1,4 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 1,4 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак >, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; −1,4) ∪ (1,4; +∞).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

В условии требуется номер варианта. Найденному множеству (−∞; −1,4) ∪ (1,4; +∞) соответствует вариант 3.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: 3.