Задание 290154: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Решаем систему:
3x²+y=9;
7x²−y=1.
Обе части всех равенств — многочлены, поэтому допустимы любые действительные x и y. Ответом должны быть пары, одновременно удовлетворяющие двум уравнениям.

2. Сложим уравнения системы: слагаемые y и −y взаимно уничтожатся. Получим 10x² = 10, то есть x² = 1010 = 1.
Следовательно, x = −1 или x = 1. Учитываем оба знака.

3. Подставим каждое значение x в первое исходное уравнение. Для обоих x² = 1.
При x = −1 из первого уравнения y = 6.
При x = 1 из первого уравнения y = 6.
Для каждого найденного x первое уравнение определяет y однозначно. Сумма уравнений вместе с первым равенством равносильна исходной системе.

4. Проверка каждой пары сразу в двух исходных уравнениях:
Пара (−1; 6):
3(−1)²+(6) = 9, 9 = 9;
7(−1)²−(6) = 1, 1 = 1.
Пара (1; 6):
3(1)²+(6) = 9, 9 = 9;
7(1)²−(6) = 1, 1 = 1.
В каждой паре выполнены оба равенства. Других значений x и соответствующих им y нет.

Ответ: (−1; 6); (1; 6).