Задание 289E4B: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (x + 2) · (x − 10) > 0.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (x + 2) · (x − 10) − (0) > 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 10) · (x + 2); требуется f(x) > 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −2, 10.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −2): при x = −3 получаем f(x) = 13, знак положителен.
(−2; 10): при x = −1 получаем f(x) = −11, знак отрицателен.
(10; +∞): при x = 11 получаем f(x) = 13, знак положителен.
x = −2 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 10 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак >, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; −2) ∪ (10; +∞).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

В условии требуется номер варианта. Найденному множеству (−∞; −2) ∪ (10; +∞) соответствует вариант 2.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: 2.