Задание 225137: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (x² + x − 2) · (x² + x − 20) ≤ 0.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (x² + x − 2) · (x² + x − 20) − (0) ≤ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² + x − 20 = (x − 4) · (x + 5).
x² + x − 2 = (x − 1) · (x + 2).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 4) · (x − 1) · (x + 2) · (x + 5); требуется f(x) ≤ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −5, −2, 1, 4.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −5): при x = −6 получаем f(x) = 280, знак положителен.
(−5; −2): при x = −4 получаем f(x) = −80, знак отрицателен.
(−2; 1): при x = −1 получаем f(x) = 40, знак положителен.
(1; 4): при x = 2 получаем f(x) = −56, знак отрицателен.
(4; +∞): при x = 5 получаем f(x) = 280, знак положителен.
x = −5 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = −2 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 1 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 4 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≤, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ [−5; −2] ∪ [1; 4].
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: [−5; −2] ∪ [1; 4].