Задание 1F76A4: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (x + 4) · (x − 9) ≥ 0.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (x + 4) · (x − 9) − (0) ≥ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 9) · (x + 4); требуется f(x) ≥ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −4, 9.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −4): при x = −5 получаем f(x) = 14, знак положителен.
(−4; 9): при x = −3 получаем f(x) = −12, знак отрицателен.
(9; +∞): при x = 10 получаем f(x) = 14, знак положителен.
x = −4 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 9 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≥, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; −4] ∪ [9; +∞).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

В условии требуется номер варианта. Найденному множеству (−∞; −4] ∪ [9; +∞) соответствует вариант 3.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: 3.