Задание 0B532B: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: x²x − 5 ≤ x.
Исключаем нули исходных знаменателей: x ≠ 5. Эти ограничения сохраняем и после сокращений.

2. Перенесём правую часть влево: x²x − 5 − (x) ≤ 0.
Приведём к общему знаменателю, сохраняя исходные ограничения:
(x²) · (1) − (x) · (x − 5)(x − 5) · (1) ≤ 0.
После раскрытия скобок и приведения подобных:
5 · xx − 5 ≤ 0.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = 5 · xx − 5; требуется f(x) ≤ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: 0, 5.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; 0): при x = −1 получаем f(x) = 56, знак положителен.
(0; 5): при x = 1 получаем f(x) = −1,25, знак отрицателен.
(5; +∞): при x = 6 получаем f(x) = 30, знак положителен.
x = 0 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 5 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≤, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ [0; 5).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: [0; 5).