Задание 0A23B5: Многоугольники

1. Пусть M — середина AB. Продлим биссектрису DM до пересечения с прямой BC в точке K. Так как AD ∥ BC, треугольники AMD и BMK подобны. Из AM = MB получаем AD = BK.

2. Луч DK делит угол ADC пополам. Из параллельности KC и AD следует ∠CDK = ∠DKC, поэтому треугольник DCK равнобедренный и CK = CD. При этом K лежит за B, значит CK = CB + BK = BC + AD.

3. Отсюда AD = CD − BC = 41 − 16 = 25. Отложим на AD отрезок DE = BC = 16. Тогда EBCD — параллелограмм, EB = CD = 41, AE = AD − BC = 9.

4. В треугольнике ABE имеем AB² + AE² = 40² + 9² = 1681 = 41² = BE². По обратной теореме Пифагора ∠BAE = 90°, то есть AB является высотой трапеции.

5. S = AD + BC2 · AB = 25 + 162 · 40 = 820.

Проверка: боковая сторона CD восстанавливается как √40² + 9² = 41; найденная высота и оба основания удовлетворяют исходным данным.

Ответ: 820.