Задание 06106A: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: 1x ≥ 1x − 2.
Исключаем нули исходных знаменателей: x ≠ 0, x ≠ 2. Эти ограничения сохраняем и после сокращений.

2. Перенесём правую часть влево: 1x − (1x − 2) ≥ 0.
Приведём к общему знаменателю, сохраняя исходные ограничения:
(1) · (x − 2) − (1) · (x)(x) · (x − 2) ≥ 0.
После раскрытия скобок и приведения подобных:
−2x · (x − 2) ≥ 0.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = −2x · (x − 2); требуется f(x) ≥ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: 0, 2.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; 0): при x = −1 получаем f(x) = −23, знак отрицателен.
(0; 2): при x = 1 получаем f(x) = 2, знак положителен.
(2; +∞): при x = 3 получаем f(x) = −23, знак отрицателен.
x = 0 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.
x = 2 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≥, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (0; 2).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (0; 2).