Задание 05B7D9: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (x² + 2 · x − 8) · (x² − 9 · x + 14) ≥ 0.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (x² + 2 · x − 8) · (x² − 9 · x + 14) − (0) ≥ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² + 2 · x − 8 = (x − 2) · (x + 4).
x² − 9 · x + 14 = (x − 7) · (x − 2).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 7) · (x − 2)² · (x + 4); требуется f(x) ≥ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −4, 2, 7.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −4): при x = −5 получаем f(x) = 588, знак положителен.
(−4; 2): при x = −3 получаем f(x) = −250, знак отрицателен.
(2; 7): при x = 3 получаем f(x) = −28, знак отрицателен.
(7; +∞): при x = 8 получаем f(x) = 432, знак положителен.
x = −4 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 2 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 7 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≥, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; −4] ∪ {2} ∪ [7; +∞).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (−∞; −4] ∪ {2} ∪ [7; +∞).