Задание 0260D6: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Уравнение x⁴=(x−6)² определено при всех действительных x. Левая часть — квадрат x², правая — квадрат выражения x − 6. Используем разность квадратов, чтобы учесть оба возможных знака.

2. Перенесём правую часть влево и разложим разность квадратов:
(x² − (x − 6)) · (x² + (x − 6)) = 0.
После раскрытия скобок внутри множителей:
(x² − x + 6) · (x² + x − 6) = 0.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

3. Решим оба квадратных уравнения:
x² − x + 6 = 0.
D = (−1)² − 4 · (1) · (6) = −23.
Дискриминант отрицателен, поэтому действительных корней нет.

x² + x − 6 = 0.
D = (1)² − 4 · (1) · (−6) = 25.
√25 = 5. По формуле корней x = −(1) ± 52 · (1).
Получаем x = −3, x = 2.

4. Соберём все действительные корни: −3, 2. Проверка в исходном уравнении:
x = −3: слева (−3)⁴ = 81; справа ((−3)−6)² = 81.
x = 2: слева (2)⁴ = 16; справа ((2)−6)² = 16.
Разложение на множители равносильно исходному равенству, а оба множителя исследованы полностью. Поэтому других корней нет.

Ответ: −3; 2.