Все задания — ЕГЭ по информатике — страница 188

На вход программы поступает последовательность из N целых положительных чисел, все числа в последовательности различны. Рассматриваются все пары различных элементов последовательности (элементы пары не обязаны стоять в последовательности рядом, порядок элементов в паре не важен). Необходимо определить количество пар, для которых произведение элементов делится на 58.

Описание входных и выходных данных

В первой строке входных данных задаётся количество чисел N (1 ≤ N ≤ 1000). В каждой из последующих N строк записано одно целое положительное число, не превышающее 10 000.

В качестве результата программа должна напечатать одно число: количество пар, в которых произведение элементов кратно 58.

Пример входных данных:

4

2

6

29

87

Пример выходных данных для приведённого выше примера входных данных:

4

Пояснение. Из четырёх заданных чисел можно составить 6 попарных произведений: 2·6, 2·29, 2·87, 6·29, 6·87, 29·87 (результаты: 12, 58, 174, 174, 522, 2523). Из них на 58 делятся 4 произведения (2·29=58; 2·87=174; 6·29=174; 6·87=522).

Требуется написать эффективную по времени и по памяти программу для решения описанной задачи.

Программа считается эффективной по времени, если при увеличении количества исходных чисел N в k раз время работы программы увеличивается не более чем в k раз.

Программа считается эффективной по памяти, если память, необходимая для хранения всех переменных программы, не превышает 1 килобайта и не увеличивается с ростом N.

Максимальная оценка за правильную (не содержащую синтаксических ошибок и дающую правильный ответ при любых допустимых входных данных) программу, эффективную по времени и по памяти, ${\displaystyle –}$ 4 балла.

Максимальная оценка за правильную программу, эффективную только по времени ${\displaystyle –}$ 3 балла.

Максимальная оценка за правильную программу, не удовлетворяющую требованиям эффективности, ${\displaystyle –}$ 2 балла.

Вы можете сдать одну программу или две программы решения задачи (например, одна из программ может быть менее эффективна). Если Вы сдадите две программы, то каждая из них будет оцениваться независимо от другой, итоговой станет бóльшая из двух оценок.

Перед текстом программы обязательно кратко опишите алгоритм решения. Укажите использованный язык программирования и его версию.

Дана последовательность N целых положительных чисел. Рассматриваются все пары элементов последовательности, разность которых чётна и, по крайней мере, один из элементов делится на p = 33. Порядок элементов в паре неважен. Среди всех таких пар нужно найти и вывести пару с максимальной суммой элементов. Если одинаковую максимальную сумму имеет несколько пар, можно вывести любую из них. Если подходящих пар в последовательности нет, нужно вывести два нуля.

Описание входных и выходных данных

В первой строке входных данных задаётся количество чисел N (2 ≤ N ≤ 10 000). В каждой из последующих N строк записано одно натуральное число, не превышающее 10 000.

Пример входных данных:

5

66

12

99

100

99

Пример выходных данных для приведённого выше примера входных данных:

99 99

Пояснение. Из данных пяти чисел можно составить три различные пары, удовлетворяющие условию: (66, 12), (66, 100), (99, 99). Наибольшая сумма получается в паре (99, 99). Эта пара допустима, так как число 99 встречается в исходной последовательности дважды.

Напишите эффективную по времени и памяти программу для решения этой задачи.

Программа считается эффективной по времени, если при увеличении количества исходных чисел N в k раз время работы программы увеличивается не более чем в k раз.

Программа считается эффективной по памяти, если память, необходимая для хранения всех переменных программы, не превышает 1 Кбайт и не увеличивается с ростом N.

Максимальная оценка за правильную (не содержащую синтаксических ошибок и дающую правильный ответ при любых допустимых входных данных) программу, эффективную по времени и памяти, $–$ 4 балла.

Максимальная оценка за правильную программу, эффективную только по времени или только по памяти, $–$ 3 балла.

Максимальная оценка за правильную программу, не удовлетворяющую требованиям эффективности, $–$ 2 балла.

Вы можете сдать одну или две программы решения задачи. Если Вы сдадите две программы, каждая из них будет оцениваться независимо от другой, итоговой станет бо$�$ьшая из двух оценок.

Перед текстом программы кратко опишите алгоритм решения. Укажите использованный язык программирования и его версию.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. У игроков есть табличка, на которой записана  пара неотрицательных целых чисел. Будем называть эту пару чисел позицией. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок должен заменить одно из чисел пары  по своему выбору на сумму обоих чисел. Так, например, если перед ходом игрока была позиция (7, 2), то после его хода будет  позиция  (7, 9) или (9, 2).

Игра завершается в тот момент, когда сумма чисел пары становится
не менее 26. Победителем считается игрок, сделавший последний ход,
т.е. первым получивший такую пару, в которой сумма её чисел стала
не менее 26.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока $–$ значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. Например, при начальной позиции (2, 13) и заданной сумме 26 выигрышная стратегия есть у Пети. Чтобы выиграть, ему достаточно заменить на сумму меньшее число пары
и получить пару (15, 13), сумма элементов которой не менее 26.

Задание 1. Перед ходом Пети на табличке записана пара чисел (9, S). Укажите максимальное значение S, такое, что Петя не может выиграть одним своим ходом.

Задание 2. Для начальной позиции (5, 6) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Опишите выигрышную стратегию.

Задание 3. Для начальной позиции (2, 3) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Постройте дерево всех партий, возможных при указанной Вами выигрышной стратегии (в виде рисунка или таблицы).

В узлах дерева указывайте позиции. Дерево не должно содержать партии, невозможные при реализации выигрывающим игроком своей выигрышной стратегии. Например, полное дерево игры не является верным ответом на это задание.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. У игроков есть табличка, на которой записана  пара неотрицательных целых чисел. Будем называть эту пару чисел позицией.  Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок должен заменить одно из чисел пары по своему выбору на сумму обоих чисел. Так, например, если перед ходом игрока была позиция (2, 20), то после его хода будет позиция (22, 20) или
(2, 22).

Игра завершается в тот момент, когда сумма чисел пары становится
не менее 36. Победителем считается игрок, сделавший последний ход,
т.е. первым получивший такую пару, в которой сумма её чисел стала
не менее 36.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока $–$ значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. Например, при начальной позиции (15, 10) и заданной сумме 36 выигрышная стратегия есть у Пети. Чтобы выиграть, ему достаточно заменить на сумму меньшее число пары
и получить пару (15, 25), сумма элементов которой не меньше 36.

Задание 1. Перед ходом Пети на табличке записана пара чисел (9, S). Укажите минимальное значение S, такое, что Петя может выиграть одним своим ходом.

Задание 2. Для начальной позиции (5, 11) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Опишите выигрышную стратегию.

Задание 3. Для начальной позиции (3, 6) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Постройте дерево всех партий, возможных при указанной Вами выигрышной стратегии (в виде рисунка или таблицы).

В узлах дерева указывайте позиции. Дерево не должно содержать партии, невозможные при реализации выигрывающим игроком своей выигрышной стратегии. Например, полное дерево игры не является верным ответом на это задание.