Задание C3497C по стереометрии

Обозначим через E середину AB, через O центр основания, а через L точку пересечения плоскости α с медианой CE.

а) Отрезок MN — средняя линия треугольника SAB, поэтому MN∥AB. Плоскость α пересекает плоскость основания по прямой PQ, параллельной MN; здесь P∈AC, Q∈BC.

Рассмотрим плоскость SCE. Обозначим K=MN∩(SCE). В треугольнике SAB прямая SE является медианой, а MN — средней линией, поэтому K — середина SE. Точка L — это PQ∩CE.

Плоскость SCE перпендикулярна основанию и плоскость α также перпендикулярна основанию. Поэтому KL⊥(ABC), то есть KL∥SO. В треугольнике SEO через середину K стороны SE проведена прямая KL, параллельная SO; значит, L — середина EO.

Точка O делит медиану CE в отношении CO:OE=2:1. Поэтому
CL:LE=(CO+OL):LE=(2+12):12=5:1.

б) Высота пирамиды:
SO=√SA²−OA²=√((4√3)²−(2√3)²)=6.
Сечение MNPQ — равнобедренная трапеция. Её основания:
MN=AB2=3,
PQ=56·AB=5.
Высота трапеции равна KL=SO2=3.

Каждая боковая сторона трапеции равна
√(KL²+((PQ−MN)2)²)=√3²+1²=√10.
Следовательно, периметр сечения равен
P=MN+PQ+2√10=8+2√10.

Ответ: 8+2√10.