Задание DF0B44: Профильная математика

Область определения задаётся положительностью аргумента логарифма: x+9>0, то есть x>−9.

В условии степень 5 относится к аргументу: ln((x+9)⁵). Степень нечётная, поэтому положительность аргумента требует x+9>0; на этой области ln((x+9)⁵)=5ln(x+9).

Используем (ln u)′=u′u. Производная функции: y′=−5+5x+9.

Приравниваем её к нулю и умножаем на положительный знаменатель: −5·(x+9)+(5)=0. После раскрытия скобок: −5x−40=0. Отсюда x=40−5=−8. Эта точка больше −9 и допустима.

Производную можно представить как y′=−5·(x−(−8))x+9. Знаменатель положителен; знак определяет числитель. При x<−8 знак плюс, при x>−8 — минус.

Слева функция возрастает, справа убывает. Поэтому в x=−8 находится точка максимума: производная меняет знак с «+» на «−».

Весь заданный отрезок [−8,5; 0] входит в область определения, а −8,5<−8<0. Доказанная смена монотонности показывает, что нужное наибольшее значение достигается именно здесь.

Аргумент логарифма в этой точке равен 1·(−8)+(9)=1, поэтому ln1=0. Получаем y(−8)=−5·(−8)+5·0+(0)=40.

Ответ: 40.